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需要関数の求め方について

初めて質問します。ミクロ経済の問題がわからなくなったので教えてください。

生産関数がコブダグラス型生産関数Y=K^1/3L^1/3であるとする。(Y生産量、K資本、L労働量)
生産者は利潤最大化を目指している。
生産物価格が6、資本賃貸率が3、名目賃金率が1のときの下記のそれぞれの値を求めなさい。

1.資本と労働の需要関数
2.供給関数
3.利潤関数

答え
1.K=8/9、L=8/3
2.4/3
3.8/3

労働の限界生産力1、資本の限界生産力3までは出しましたが、そこからどう解くのかがわかりません。
よろしくお願いします。

投稿日時 - 2018-07-02 21:48:07

QNo.9514587

困ってます

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回答(1)

ANo.1

質問はもった正確に書きましょう。求めるのは
1.資本と労働の需要関数
2.供給関数
3.利潤関数
ではなく、
1.(当該生産者の)資本と労働の需要量
2.(当該生産者の)生産量(供給量)
3.(当該生産者の)利潤量
でしょう?(違いは分かりますか?)

いま、利潤をΠと書くと
Π=6K^1/3L^1/3 - 3K -L           (+)
となる。Πを最大化するKとLを求めるためには、ΠをそれぞれKとLで(偏)微分して0とおく。
0 = ∂Π/∂K=2K^(-2/3)L^1/3 - 3      (*)
0=∂Π/∂L=2K^1/3L^(-2/3) -1      (**)
となる。これらより
K/L =3
よって
K=3L
L= (1/3)K
を得る。(*)に代入すると
2K^(-1/3)(3^1/3) = 3
この式の両辺を3乗すると、
K^-1 = 9/8
K=8/9
と答えを得る。同じようにL=K/3を(**)に代入し、整理すると
L=8/3
を得る(確かめてください!)
このときの供給量を求めるためにはいま求めたKとLの値を生産関数
Y=K^1/3L^1/3
の右辺に代入すればY=4/3が求まるし、利潤を求めるためには、利潤関数(+)の右辺にKとLの値を代入すればよい。Π=8/3を得る。
このようになることを確かめてください!!!

投稿日時 - 2018-07-05 22:12:00